Questão 10/10 - Álgebra Linear Sejam B 1 = { ( 1 , 1 ) , ( − 1 , 0 ) } e B 2 = { ( − 1 , 1 ) , ( 2 , − 3 ) } bases de R 2 . De acordo com as bases acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, a matriz M de mudança de base de B 1 para B 2 , [ M ] B 1 B 2 , é: A M = [ 2 − 1 1 1 ] B M = [ 5 − 4 2 1 ] C M = [ − 5 3 − 2 1 ] D M = [ 5 − 3 4 1 ] E M = [ 5 − 1 − 2 3 ]

Question

Questão 10/10 - Álgebra Linear  Sejam  B 1 = { ( 1 , 1 ) , ( − 1 , 0 ) }   e   B 2 = { ( − 1 , 1 ) , ( 2 , − 3 ) }  bases de  R 2 .    De acordo co...

Ed · Answer

Para encontrar a matriz de mudança de base $ M $ de $ B_1 $ para $ B_2 $, precisamos expressar os vetores da base $ B_1 $ em termos dos vetores da base $ B_2 $.

As bases são:
- $ B_1 = \{ (1, 1), (-1, 0) \} $
- $ B_2 = \{ (-1, 1), (2, -3) \} $

Vamos denotar os vetores de $ B_1 $ como $ v_1 = (1, 1) $ e $ v_2 = (-1, 0) $.

Precisamos encontrar os coeficientes $ a_1, a_2 $ e $ b_1, b_2 $ tais que:
1. $ v_1 = a_1(-1, 1) + a_2(2, -3) $
2. $ v_2 = b_1(-1, 1) + b_2(2, -3) $

Resolvendo a primeira equação:
$$
(1, 1) = a_1(-1, 1) + a_2(2, -3)
$$
Isso resulta em um sistema de equações:
1. $ -a_1 + 2a_2 = 1 $
2. $ a_1 - 3a_2 = 1 $

Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de $ a_1 $ e $ a_2 $.

Agora, para a segunda equação:
$$
(-1, 0) = b_1(-1, 1) + b_2(2, -3)
$$
Isso resulta em outro sistema:
1. $ -b_1 + 2b_2 = -1 $
2. $ b_1 - 3b_2 = 0 $

Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de $ b_1 $ e $ b_2 $.

Após resolver ambos os sistemas, os coeficientes encontrados formarão as colunas da matriz $ M $.

Após realizar os cálculos, a matriz de mudança de base $ [M]_{B_1}^{B_2} $ é:
$$
M = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$

Portanto, a alternativa correta é:
**A) $ M = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} $**.

Ed · Answer

Analisando a mudança de base de $B_1$ para $B_2$, podemos encontrar a matriz de mudança de base $M$ calculando a inversa da matriz formada pelos vetores de $B_2$ na base de $B_1$.

Dado que $B_1 = \{(1, 1), (-1, 0)\}$ e $B_2 = \{(-1, 1), (2, -3)\}$, podemos montar a matriz de mudança de base $M$ da seguinte forma:

$$M = [B_2]_{B_1} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \ 1 & -3 \end{bmatrix}$$

Calculando a inversa desta matriz, obtemos:

$$M^{-1} = \frac{1}{(-1)(-3) - (2)(1)} \begin{bmatrix} -3 & -2 \ -1 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -3 & -2 \ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -2 \ -1 & -1 \end{bmatrix}$$

Portanto, a matriz de mudança de base de $B_1$ para $B_2$ é:

$$M = \begin{bmatrix} -3 & -2 \ -1 & -1 \end{bmatrix}$$

Assim, a alternativa correta é:

C) $M = \begin{bmatrix} -3 & -2 \ -1 & -1 \end{bmatrix}$

Álgebra Linear

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