Para resolver a integral dada, é necessário primeiro completar o quadrado no denominador. Temos: \( x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 \) Agora, podemos reescrever a integral da seguinte forma: \( \int_{-1}^1 \frac{dx}{(x + 1)^2 + 1} \) Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Se fizermos \( x + 1 = \tan(t) \), então \( dx = \sec^2(t) dt \) e \( (x + 1)^2 + 1 = \tan^2(t) + 1 = \sec^2(t) \). Assim, a integral se torna: \( \int \frac{\sec^2(t) dt}{\sec^2(t)} = \int dt = t \) Agora, precisamos encontrar os limites de integração em termos de \( t \). Quando \( x = -1 \), temos \( -1 + 1 = \tan(t) \), ou seja, \( \tan(t) = 0 \), o que implica que \( t = 0 \). Quando \( x = 1 \), temos \( 1 + 1 = \tan(t) \), ou seja, \( \tan(t) = 2 \), o que implica que \( t = \arctan(2) \). Portanto, a integral original é igual a \( \arctan(2) - 0 = \arctan(2) \). Analisando as opções fornecidas: a) \( \frac{\pi}{2} \) - Não corresponde ao resultado obtido. b) \( \frac{\pi}{4} \) - Não corresponde ao resultado obtido. c) \( \frac{\pi}{3} \) - Não corresponde ao resultado obtido. d) \( \frac{\pi}{6} \) - Não corresponde ao resultado obtido. Assim, a resposta correta é: "Você tem que criar uma nova pergunta".