aulas XLIX

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- **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x \), obtemos \( 
\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{1} \), que tende a 1 quando \( x \to \infty \). 
 
12. **Qual é a integral indefinida de \( \int \frac{dx}{x^3 - x 
 
} \)?** 
 - a) \( \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C \) 
 - b) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C \) 
 - c) \( \frac{1}{2} \ln|x| - \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C \) 
 - d) \( \frac{1}{x^2 - 1} + C \) 
 - **Resposta: a) \( \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C \)** 
 - **Explicação:** Decompondo em frações parciais e integrando, obtemos \( \frac{1}{2} 
\ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C \). 
 
13. **Se \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), qual é a segunda derivada de \( f(x) \)?** 
 - a) \( \frac{-2x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} \) 
 - b) \( \frac{2x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2} \) 
 - c) \( \frac{-2x}{x^2 + 1} \) 
 - d) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 - **Resposta: b) \( \frac{2x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2} \)** 
 - **Explicação:** A primeira derivada é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \), e a segunda derivada é \( 
\frac{(2x(x^2 + 1) - 2x^2)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
14. **Qual é o valor de \( \int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2 + 2x + 2} \)?** 
 - a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - c) \( \frac{\pi}{3} \) 
 - d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 - **Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \)** 
 - **Explicação:** Completar o quadrado no denominador e usar a fórmula da integral para \( 
\frac{1}{x^2 + a^2} \) resulta em \( \frac{\pi}{2} \). 
 
15. **Qual é a derivada de \( f(x) = x e^{\sin(x)} \)?** 
 - a) \( e^{\sin(x)} + x e^{\sin(x)} \cos(x) \) 
 - b) \( e^{\sin(x)} \cos(x) \) 
 - c) \( e^{\sin(x)} + x \cos(x) \) 
 - d) \( e^{\sin(x)} \sin(x) \) 
 - **Resposta: a) \( e^{\sin(x)} + x e^{\sin(x)} \cos(x) \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra do produto e a regra da cadeia, a derivada é \( e^{\sin(x)} + 
x e^{\sin(x)} \cos(x) \). 
 
16. **Qual é a integral indefinida de \( \int e^{-x^2} \, dx \)?** 
 - a) Não é uma forma elementar 
 - b) \( \frac{e^{-x^2}}{2} + C \) 
 - c) \( \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \) 
 - d) \( e^{-x^2} + C \) 
 - **Resposta: a) Não é uma forma elementar** 
 - **Explicação:** A integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) não possui uma antiderivada expressável 
em termos de funções elementares. 
 
17. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - 2 \sin(x)}{x^3} \)?** 
 - a) 0 
 - b) -2 
 - c) 2 
 - d) -4 
 - **Resposta: a) 0** 
 - **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \sin(x) \), obtemos que a diferença no 
numerador tende a 0 mais rapidamente do que o denominador, resultando em 0. 
 
18. **Qual é o valor de \( \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} \)?** 
 - a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - b) \( \pi \) 
 - c) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - d) \( 2 \pi \) 
 - **Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \)** 
 - **Explicação:** A integral representa a área de um quarto de círculo de raio 2, resultando 
em \( \frac{\pi}{2} \). 
 
19. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 - a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 - b) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 - c) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 - d) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 - **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 - **Explicação:** A derivada é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \), usando a regra da cadeia. 
 
20. **Qual é a integral definida de \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \)?** 
 - a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - c) \( \frac{\pi}{3} \) 
 - d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 - **Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \)** 
 - **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), a integral se 
simplifica para \( \frac{\pi}{2} \). 
 
21. **Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \)?** 
 - a) \( -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \) 
 - b) \( -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \) 
 - c) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 - d) \( \frac{1}{x} \) 
 - **Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \)** 
 - **Explicação:** A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \) e a derivada de \( \ln(x) 
\) é \( \frac{1}{x} \), então a derivada total é \( -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \). 
 
22. **Qual é a integral definida de \( \int_1^e \frac{dx}{x \ln(x)} \)?** 
 - a) \( 1 \)