21. Encontre o limite no infinito.(a) limx→+∞(2x+ 1) / (5x− 2)(b) limx→+∞(7x2 − 2x+ 1) / (3x2 + 8x+ 5)(c) limx→−∞(4x3 + 2x2 − 5) / (8x3 + x+ 2)(d) limx→+∞(3x4 − 7x2 + 2) / (2x4 + 1)(e) limx→−∞(3x+ 1 / x2)(f) limx→+∞√(x2 + 4) / (x+ 4)(g) limx→−∞√(x2 + 4) / (x+ 4)(h) limx→−∞√(x4 + 1) / (2x2 − 3)

Question

21. Encontre o limite no infinito.

(a) lim
x→+∞

(2x+ 1) / (5x− 2)

(b) lim
x→+∞

(7x2 − 2x+ 1) / (3x2 + 8x+ 5)

(c) lim
x→−∞

(4x3 + 2x2 − 5) / (...

Ed · Answer

Para encontrar os limites no infinito, vamos analisar cada uma das opções apresentadas.

(a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{5x - 2}$

Dividindo o numerador e o denominador por $x$:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{5 - \frac{2}{x}} = \frac{2 + 0}{5 - 0} = \frac{2}{5}
$$

(b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{7x^2 - 2x + 1}{3x^2 + 8x + 5}$

Dividindo o numerador e o denominador por $x^2$:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{7 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{8}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{7 - 0 + 0}{3 + 0 + 0} = \frac{7}{3}
$$

(c) $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 + 2x^2 - 5}{8x^3 + x + 2}$

Dividindo o numerador e o denominador por $x^3$:
$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^3}}{8 + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3}} = \frac{4 + 0 - 0}{8 + 0 + 0} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
$$

(d) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^4 - 7x^2 + 2}{2x^4 + 1}$

Dividindo o numerador e o denominador por $x^4$:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{7}{x^2} + \frac{2}{x^4}}{2 + \frac{1}{x^4}} = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}
$$

(e) $\lim_{x \to -\infty} \left(3x + \frac{1}{x^2}\right)$

O termo $\frac{1}{x^2}$ tende a 0, então:
$$
\lim_{x \to -\infty} (3x) = -\infty
$$

(f) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x + 4}$

Dividindo o numerador e o denominador por $x$:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}{1 + \frac{4}{x}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1
$$

(g) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x + 4}$

Aqui, o numerador se comporta como $-x$ quando $x$ é negativo:
$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{1 + \frac{4}{x}} = -1
$$

(h) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^4 + 1}}{2x^2 - 3}$

Dividindo o numerador e o denominador por $x^2$:
$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{2 - \frac{3}{x^2}} = \frac{1}{2}
$$

Resumindo os limites:
- (a) $\frac{2}{5}$
- (b) $\frac{7}{3}$
- (c) $\frac{1}{2}$
- (d) $\frac{3}{2}$
- (e) $-\infty$
- (f) $1$
- (g) $-1$
- (h) $\frac{1}{2}$

Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!

Ed · Answer

Para encontrar o limite no infinito de uma função, é importante observar os termos de maior grau no numerador e no denominador, pois eles terão maior influência no resultado final.

Analisando as opções:
(a) lim x→+∞ (2x+ 1) / (5x− 2) - O termo de maior grau tanto no numerador quanto no denominador é x, então o limite é 2/5.
(b) lim x→+∞ (7x2 − 2x+ 1) / (3x2 + 8x+ 5) - O termo de maior grau tanto no numerador quanto no denominador é x^2, então o limite é 7/3.
(c) lim x→−∞ (4x3 + 2x2 − 5) / (8x3 + x+ 2) - O termo de maior grau tanto no numerador quanto no denominador é x^3, então o limite é 4/8 = 1/2.
(d) lim x→+∞ (3x4 − 7x2 + 2) / (2x4 + 1) - O termo de maior grau tanto no numerador quanto no denominador é x^4, então o limite é 3/2.
(e) lim x→−∞ (3x+ 1 / x2) - O termo de maior grau no denominador é x^2, então o limite é 0.
(f) lim x→+∞ √(x2 + 4) / (x+ 4) - O termo de maior grau no numerador é x^2, e no denominador é x, então o limite é +∞.
(g) lim x→−∞ √(x2 + 4) / (x+ 4) - O termo de maior grau no numerador é x^2, e no denominador é x, então o limite é -∞.
(h) lim x→−∞ √(x4 + 1) / (2x2 − 3) - O termo de maior grau no numerador é x^4, e no denominador é x^2, então o limite é +∞.

Portanto, a alternativa correta para o limite no infinito é:
(d) lim x→+∞ (3x4 − 7x2 + 2) / (2x4 + 1) = 3/2.

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1. Dada f(x) = 2x− 1, encontre:
(a) f(3)
(b) f(x+ 1)
(c) f(2x)
(d) 2f(x)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)

2. Dada f(x) = 3/x, encontre:
(a) f(-3)
(b) f(3x)
(c) f(3)/f(x)
(d) f(x-3)
(e) f(x)− f(3)
(f) f(x+ h)− f(x)

3. Dada g(x) = 3x^2 - 4, encontre:
(a) g(-4)
(b) g(1/3)
(c) g(x^2)
(d) [g(x)]^2
(e) g(3x^2 - 4)
(f) g(x+ h)− g(x)

4. Dada f(x) = sqrt(4-x), encontre:
(a) f(-5)
(b) f(11/9)
(c) f(4-x)
(d) f(x)− f(h)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)

5. Encontre o domínio da função.
(a) f(x) = x/(3x-1)
(b) g(x) = (5x+4)/(x^2 + 3x + 2)
(c) h(x) = sqrt(x) + sqrt(4-x)
(d) f(x) = (5x+4)sqrt(x^2 - 4)
(e) g(x) = sqrt(x+3)/sqrt(x)
(f) h(x) = 1/(4sqrt(x^2 - 5x))

6. Encontre as funções f + g, f - g, f * g e f/g, e determine seus respectivos domínios.
(a) f(x) = x-5; g(x) = x^2 - 1
(b) f(x) = (x+1)/(x-1); g(x) = 1/x
(c) f(x) = |x|; g(x) = |x-3|
(d) f(x) = 1/(x+1); g(x) = x/(x-2)
(e) f(x) = x^2; g(x) = 1/sqrt(x)
(f) f(x) = sqrt(1+x); g(x) = sqrt(1-x)

8. Encontre a função f ◦ g ◦ h.
(a) f(x) = x+1; g(x) = 2x; h(x) = x-1
(b) f(x) = 2x-1; g(x) = x^2; h(x) = 1-x
(c) f(x) = sqrt(x-1); g(x) = x^2 + 2; h(x) = x+3
(d) f(x) = 2/(x+1); g(x) = cos(x); h(x) = sqrt(x+3)

9. Expresse as funções dadas na forma f ◦ g.
(a) F(x) = (x^2 + 1)^10
(b) F(x) = sin(sqrt(x))
(c) F(x) = x^2/(x^2 + 4)
(d) F(x) = tan(x)/(1+tan(x))

10. Se f e g forem funções tais que (f ◦ g)(x) = x e (g ◦ f)(x) = x, então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas.
(a) f(x) = 2x-3 e g(x) = (x+3)/2
(b) f(x) = 1/(x+1) e g(x) = (1-x)/x
(c) f(x) = x^2, x ≥ 0 e g(x) = sqrt(x)

12. Encontre a função composta f ◦ g e determine o seu domínio.
(a) f(x) = sin(x); g(x) = 3x
(b) f(x) = tan(x); g(x) = x^2
(c) f(x) = cos(x); g(x) = x^2
(d) f(x) = csc(x); g(x) = 2x
(e) f(x) = cot(x); g(x) = 1/x
(f) f(x) = sec(1/x); g(x) = 1/(x-π)

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1. Dada f(x) = 2x− 1, encontre:(a) f(3)(b) f(x+ 1)(c) f(2x)(d) 2f(x)(e) f(x+ h)(f) f(x+ h)− f(x)

2. Dada f(x) = 3/x, encontre:(a) f(-3)(b) f(3x)(c) f(3)/f(x)(d) f(x-3)(e) f(x)− f(3)(f) f(x+ h)− f(x)

3. Dada g(x) = 3x^2 - 4, encontre:(a) g(-4)(b) g(1/3)(c) g(x^2)(d) [g(x)]^2(e) g(3x^2 - 4)(f) g(x+ h)− g(x)

4. Dada f(x) = sqrt(4-x), encontre:(a) f(-5)(b) f(11/9)(c) f(4-x)(d) f(x)− f(h)(e) f(x+ h)(f) f(x+ h)− f(x)

5. Encontre o domínio da função.(a) f(x) = x/(3x-1)(b) g(x) = (5x+4)/(x^2 + 3x + 2)(c) h(x) = sqrt(x) + sqrt(4-x)(d) f(x) = (5x+4)sqrt(x^2 - 4)(e) g(x) = sqrt(x+3)/sqrt(x)(f) h(x) = 1/(4sqrt(x^2 - 5x))

6. Encontre as funções f + g, f - g, f * g e f/g, e determine seus respectivos domínios.(a) f(x) = x-5; g(x) = x^2 - 1(b) f(x) = (x+1)/(x-1); g(x) = 1/x(c) f(x) = |x|; g(x) = |x-3|(d) f(x) = 1/(x+1); g(x) = x/(x-2)(e) f(x) = x^2; g(x) = 1/sqrt(x)(f) f(x) = sqrt(1+x); g(x) = sqrt(1-x)

8. Encontre a função f ◦ g ◦ h.(a) f(x) = x+1; g(x) = 2x; h(x) = x-1(b) f(x) = 2x-1; g(x) = x^2; h(x) = 1-x(c) f(x) = sqrt(x-1); g(x) = x^2 + 2; h(x) = x+3(d) f(x) = 2/(x+1); g(x) = cos(x); h(x) = sqrt(x+3)

9. Expresse as funções dadas na forma f ◦ g.(a) F(x) = (x^2 + 1)^10(b) F(x) = sin(sqrt(x))(c) F(x) = x^2/(x^2 + 4)(d) F(x) = tan(x)/(1+tan(x))

10. Se f e g forem funções tais que (f ◦ g)(x) = x e (g ◦ f)(x) = x, então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas.(a) f(x) = 2x-3 e g(x) = (x+3)/2(b) f(x) = 1/(x+1) e g(x) = (1-x)/x(c) f(x) = x^2, x ≥ 0 e g(x) = sqrt(x)

12. Encontre a função composta f ◦ g e determine o seu domínio.(a) f(x) = sin(x); g(x) = 3x(b) f(x) = tan(x); g(x) = x^2(c) f(x) = cos(x); g(x) = x^2(d) f(x) = csc(x); g(x) = 2x(e) f(x) = cot(x); g(x) = 1/x(f) f(x) = sec(1/x); g(x) = 1/(x-π)

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(e) f(x)− f(3)
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(a) g(-4)
(b) g(1/3)
(c) g(x^2)
(d) [g(x)]^2
(e) g(3x^2 - 4)
(f) g(x+ h)− g(x)

4. Dada f(x) = sqrt(4-x), encontre:
(a) f(-5)
(b) f(11/9)
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5. Encontre o domínio da função.
(a) f(x) = x/(3x-1)
(b) g(x) = (5x+4)/(x^2 + 3x + 2)
(c) h(x) = sqrt(x) + sqrt(4-x)
(d) f(x) = (5x+4)sqrt(x^2 - 4)
(e) g(x) = sqrt(x+3)/sqrt(x)
(f) h(x) = 1/(4sqrt(x^2 - 5x))

6. Encontre as funções f + g, f - g, f * g e f/g, e determine seus respectivos domínios.
(a) f(x) = x-5; g(x) = x^2 - 1
(b) f(x) = (x+1)/(x-1); g(x) = 1/x
(c) f(x) = |x|; g(x) = |x-3|
(d) f(x) = 1/(x+1); g(x) = x/(x-2)
(e) f(x) = x^2; g(x) = 1/sqrt(x)
(f) f(x) = sqrt(1+x); g(x) = sqrt(1-x)

8. Encontre a função f ◦ g ◦ h.
(a) f(x) = x+1; g(x) = 2x; h(x) = x-1
(b) f(x) = 2x-1; g(x) = x^2; h(x) = 1-x
(c) f(x) = sqrt(x-1); g(x) = x^2 + 2; h(x) = x+3
(d) f(x) = 2/(x+1); g(x) = cos(x); h(x) = sqrt(x+3)

9. Expresse as funções dadas na forma f ◦ g.
(a) F(x) = (x^2 + 1)^10
(b) F(x) = sin(sqrt(x))
(c) F(x) = x^2/(x^2 + 4)
(d) F(x) = tan(x)/(1+tan(x))

10. Se f e g forem funções tais que (f ◦ g)(x) = x e (g ◦ f)(x) = x, então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas.
(a) f(x) = 2x-3 e g(x) = (x+3)/2
(b) f(x) = 1/(x+1) e g(x) = (1-x)/x
(c) f(x) = x^2, x ≥ 0 e g(x) = sqrt(x)

12. Encontre a função composta f ◦ g e determine o seu domínio.
(a) f(x) = sin(x); g(x) = 3x
(b) f(x) = tan(x); g(x) = x^2
(c) f(x) = cos(x); g(x) = x^2
(d) f(x) = csc(x); g(x) = 2x
(e) f(x) = cot(x); g(x) = 1/x
(f) f(x) = sec(1/x); g(x) = 1/(x-π)