Resolva as integrais utilizando a técnica de integração por partes. ∫ ???????? 4???? ????????

Para resolver a integral utilizando a técnica de integração por partes, é necessário identificar as funções \(u\) e \(dv\). Neste caso, podemos escolher \(u = 4x\) e \(dv = e^{2x}dx\). Em seguida, calculamos \(du\) e \(v\): \(du = 4dx\) \(v = \frac{1}{2}e^{2x}\) Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes: \(\int u dv = uv - \int v du\) Substituindo na fórmula, temos: \(\int 4x \cdot e^{2x}dx = 4x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 4dx\) Simplificando, obtemos: \(2xe^{2x} - 2\int e^{2x}dx\) Agora, podemos integrar \(\int e^{2x}dx\) facilmente, resultando em: \(2xe^{2x} - 2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C\) Portanto, a integral de \(4x \cdot e^{2x}dx\) utilizando a técnica de integração por partes é \(2xe^{2x} - e^{2x} + C\), onde \(C\) é a constante de integração.