Para determinar o vetor tangente unitário \(\mathbf{T}(t)\) e as equações paramétricas da reta tangente à hélice dada por \(\mathbf{r}(t) = 2 \cos(t) \mathbf{i} + 2 \sen(t) \mathbf{j} + t \mathbf{k}\), siga os passos abaixo: 1. Calcule a derivada \(\mathbf{r}'(t)\): \[ \mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}(2 \cos(t) \mathbf{i} + 2 \sen(t) \mathbf{j} + t \mathbf{k}) = -2 \sen(t) \mathbf{i} + 2 \cos(t) \mathbf{j} + \mathbf{k} \] 2. Avalie \(\mathbf{r}'(t)\) em \(t = \frac{\pi}{4}\): \[ \mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2 \sen\left(\frac{\pi}{4}\right) \mathbf{i} + 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \mathbf{j} + \mathbf{k} = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \mathbf{i} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \mathbf{j} + \mathbf{k} = -\sqrt{2} \mathbf{i} + \sqrt{2} \mathbf{j} + \mathbf{k} \] 3. Calcule o módulo de \(\mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{4}\right)\): \[ \|\mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{4}\right)\| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 2 + 1} = \sqrt{5} \] 4. Determine o vetor tangente unitário \(\mathbf{T}(t)\): \[ \mathbf{T}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\|\mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{4}\right)\|} = \frac{-\sqrt{2} \mathbf{i} + \sqrt{2} \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{5}} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \] 5. Equações paramétricas da reta tangente: Para encontrar as equações paramétricas da reta tangente no ponto \(\mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}\right)\), primeiro calcule \(\mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}\right)\): \[ \mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \mathbf{i} + 2 \sen\left(\frac{\pi}{4}\right) \mathbf{j} + \frac{\pi}{4} \mathbf{k} = \sqrt{2} \mathbf{i} + \sqrt{2} \mathbf{j} + \frac{\pi}{4} \mathbf{k} \] As equações paramétricas da reta tangente são: \[ x = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} t \] \[ y = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} t \] \[ z = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{\sqrt{5}} t \] Assim, você tem o vetor tangente unitário \(\mathbf{T}\left(\frac{\pi}{4}\right)\) e as equações paramétricas da reta tangente. Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!