Encontre o ângulo entre os planos ω e γ, cujas equações são dadas respectivamente por 2x + 2y − z = 0 e x + y − 5z − 3 = 0.

Para encontrar o ângulo entre os planos \( \omega \) e \( \gamma \), precisamos das normais de cada plano. 1. Equação do plano \( \omega \): \( 2x + 2y - z = 0 \) - A normal \( \vec{n_1} \) é \( (2, 2, -1) \). 2. Equação do plano \( \gamma \): \( x + y - 5z - 3 = 0 \) - A normal \( \vec{n_2} \) é \( (1, 1, -5) \). 3. Cálculo do ângulo \( \theta \) entre os planos: - Usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] 4. Produto escalar \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \): \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-5) = 2 + 2 + 5 = 9 \] 5. Normas dos vetores: - \( |\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \) - \( |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \) 6. Substituindo na fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{9}{3 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{9}{9\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 7. Encontrando o ângulo: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] Portanto, o ângulo entre os planos \( \omega \) e \( \gamma \) é \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \).