Encontre os pontos onde a reta tangente à curva γ(t) = (cos3(t), sen3(t)) em t = π/4 intercepta os eixos x e y.

Para encontrar os pontos onde a reta tangente à curva \(\gamma(t) = (\cos^3(t), \sin^3(t))\) em \(t = \frac{\pi}{4}\) intercepta os eixos \(x\) e \(y\), siga os passos abaixo: 1. Calcule \(\gamma\left(\frac{\pi}{4}\right)\): \[ \gamma\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\cos^3\left(\frac{\pi}{4}\right), \sin^3\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3, \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\right) = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \] 2. Calcule a derivada \(\gamma'(t)\): \[ \gamma'(t) = \left(-3\cos^2(t)\sin(t), 3\sin^2(t)\cos(t)\right) \] 3. Avalie \(\gamma'\left(\frac{\pi}{4}\right)\): \[ \gamma'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(-3\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right), 3\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) = \left(-\frac{3}{2\sqrt{2}}, \frac{3}{2\sqrt{2}}\right) \] 4. Equação da reta tangente: A equação da reta tangente em forma paramétrica é: \[ y - \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}\left(x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \] 5. Intercepto no eixo \(x\) (onde \(y = 0\)): \[ 0 - \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}\left(x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \] Resolvendo para \(x\): \[ -\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}x - \frac{3}{4} \] \[ \frac{3}{4} - \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}x \] \[ x = \frac{3/4 - 1/2\sqrt{2}}{3/(2\sqrt{2})} \] 6. Intercepto no eixo \(y\) (onde \(x = 0\)): \[ y - \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}\left(0 - \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \] Resolvendo para \(y\): \[ y - \frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{3}{4} \] \[ y = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{3}{4} \] Agora, você pode calcular os valores exatos para os interceptos.