Problema 25: Calcule a integral \int_0^1 (x^5 - 2x^4 + 3x^3) \, dx. a) \frac{1}{4} b) \frac{1}{3} c) \frac{1}{2} d) 1

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^5 - 2x^4 + 3x^3) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(x^5\) é \(\frac{x^6}{6}\). 2. A integral de \(-2x^4\) é \(-\frac{2x^5}{5}\). 3. A integral de \(3x^3\) é \(\frac{3x^4}{4}\). Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^5 - 2x^4 + 3x^3) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{2x^5}{5} + \frac{3x^4}{4} \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^6}{6} - \frac{2 \cdot 1^5}{5} + \frac{3 \cdot 1^4}{4} \right] - \left[ \frac{0^6}{6} - \frac{2 \cdot 0^5}{5} + \frac{3 \cdot 0^4}{4} \right] \] Isso simplifica para: \[ \frac{1}{6} - \frac{2}{5} + \frac{3}{4} \] Agora, precisamos encontrar um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de 6, 5 e 4 é 60. Convertendo cada fração: \[ \frac{1}{6} = \frac{10}{60}, \quad -\frac{2}{5} = -\frac{24}{60}, \quad \frac{3}{4} = \frac{45}{60} \] Agora somamos: \[ \frac{10}{60} - \frac{24}{60} + \frac{45}{60} = \frac{10 - 24 + 45}{60} = \frac{31}{60} \] Assim, a integral \(\int_0^1 (x^5 - 2x^4 + 3x^3) \, dx = \frac{31}{60}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado. Portanto, você precisa verificar as opções ou o cálculo.