Para determinar qual função é um autovetor do operador \( T = D - I \), precisamos verificar qual função \( f(x) \) satisfaz a equação \( T(f) = \lambda f \), onde \( \lambda \) é um escalar. Isso significa que precisamos resolver a seguinte equação: \[ D(f) - f = \lambda f \] ou seja, \[ D(f) = (\lambda + 1)f \] Agora, vamos analisar cada alternativa: (a) \( e^x \): - A derivada de \( e^x \) é \( e^x \). - Portanto, \( D(e^x) = e^x \). - Isso implica que \( e^x - e^x = 0 \), ou seja, \( \lambda = 0 \). Logo, \( e^x \) é um autovetor de \( T \). (b) \( \sin(x) \): - A derivada de \( \sin(x) \) é \( \cos(x) \). - Portanto, \( D(\sin(x)) = \cos(x) \). - Isso não satisfaz a condição de autovetor. (c) \( \log(x) \): - A derivada de \( \log(x) \) é \( \frac{1}{x} \). - Portanto, \( D(\log(x)) = \frac{1}{x} \). - Isso não satisfaz a condição de autovetor. (d) \( x^{-1} \): - A derivada de \( x^{-1} \) é \( -x^{-2} \). - Portanto, \( D(x^{-1}) = -x^{-2} \). - Isso não satisfaz a condição de autovetor. Assim, a única função que é autovetor de \( T \) é a alternativa (a) \( e^x \). Portanto, a resposta correta é: (a) \( e^x \).