Para encontrar a matriz que transforma um vetor \( x \) nas suas coordenadas em relação à base \( \beta = \{(2, 2), (-4, 6)\} \), precisamos considerar a matriz cujas colunas são os vetores da base \( \beta \). A matriz que representa a base \( \beta \) é: \[ A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \] Para encontrar as coordenadas de um vetor \( x \) em relação à base \( \beta \), precisamos da matriz inversa de \( A \). Assim, a matriz que, ao multiplicar um vetor qualquer \( x \), resulta nas coordenadas de \( x \) em relação à base \( \beta \) é a inversa de \( A \). Analisando as opções: (a) \([2 -4 2 6]^{-1}\) - Esta opção sugere a inversa de uma matriz, mas a matriz não está bem definida. (b) \([2 -4 2 6]\) - Esta é uma matriz, mas não é a inversa. (c) \([2 2 -4 6]^{-1}\) - Esta opção também sugere a inversa de uma matriz, mas a matriz não está bem definida. (d) \([2 2 -4 6]\) - Esta é uma matriz, mas não é a inversa. Nenhuma das opções parece estar correta, pois não temos a matriz inversa de \( A \) claramente apresentada. Entretanto, se considerarmos que a matriz que representa a base \( \beta \) é \([2 2; -4 6]\), a resposta correta deve ser a inversa dessa matriz, que não está claramente listada nas opções. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode precisar revisar as opções ou verificar se há um erro na formulação da pergunta.