07. O perímetro de um losango é 20 cm. Se sua diagonal maior tem o dobro da medida da menor, então sua área, em cm², é: a) 35 b) 30 c) 25 d) 20

Para resolver a questão, vamos usar as propriedades do losango. 1. Perímetro do losango: O perímetro \( P \) é dado por \( P = 4a \), onde \( a \) é o comprimento do lado. Como o perímetro é 20 cm, temos: \[ 4a = 20 \implies a = 5 \text{ cm} \] 2. Diagonais do losango: Vamos chamar a diagonal menor de \( d_1 \) e a diagonal maior de \( d_2 \). Segundo a questão, \( d_2 = 2d_1 \). 3. Relação entre as diagonais e o lado: A relação entre as diagonais e o lado do losango é dada pela fórmula: \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] Substituindo \( d_2 \): \[ 5^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{2d_1}{2}\right)^2 \] \[ 25 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + d_1^2 \] \[ 25 = \frac{d_1^2}{4} + d_1^2 \] \[ 25 = \frac{5d_1^2}{4} \] \[ 100 = 5d_1^2 \implies d_1^2 = 20 \implies d_1 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] E então: \[ d_2 = 2d_1 = 4\sqrt{5} \] 4. Área do losango: A área \( A \) do losango é dada por: \[ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \] Substituindo os valores: \[ A = \frac{(2\sqrt{5})(4\sqrt{5})}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 \text{ cm}^2 \] Portanto, a área do losango é 20 cm². A alternativa correta é: d) 20.