Qual é o valor da integral ∫_0^1 x^4 (1 - x^2) dx? a) rac{1}{15} b) rac{1}{20} c) rac{1}{30} d) rac{1}{10}

Para calcular a integral \(\int_0^1 x^4 (1 - x^2) \, dx\), vamos primeiro expandir a expressão: \[ \int_0^1 x^4 (1 - x^2) \, dx = \int_0^1 (x^4 - x^6) \, dx \] Agora, podemos separar a integral: \[ \int_0^1 x^4 \, dx - \int_0^1 x^6 \, dx \] Calculando cada uma: 1. \(\int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}\) 2. \(\int_0^1 x^6 \, dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{7}\) Agora, substituímos os resultados: \[ \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum, que é 35: \[ \frac{1}{5} = \frac{7}{35} \quad \text{e} \quad \frac{1}{7} = \frac{5}{35} \] Portanto: \[ \frac{7}{35} - \frac{5}{35} = \frac{2}{35} \] Agora, vamos verificar as alternativas: a) \(\frac{1}{15}\) b) \(\frac{1}{20}\) c) \(\frac{1}{30}\) d) \(\frac{1}{10}\) Nenhuma das alternativas corresponde a \(\frac{2}{35}\). Parece que houve um erro nas opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!