Para resolver essa questão, precisamos encontrar uma solução da equação diferencial que atenda às condições iniciais dadas: \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 4 \). Sabemos que as funções \( Y = \cos(2x) \) e \( Y = 3\sen(2x) \) são soluções da equação diferencial. A solução geral pode ser expressa como uma combinação linear dessas funções: \[ y(x) = A \cos(2x) + B \sen(2x) \] Agora, vamos aplicar as condições iniciais. 1. Condição inicial \( y(0) = 1 \): \[ y(0) = A \cos(0) + B \sen(0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = A \] Portanto, \( A = 1 \). 2. Derivada \( y'(x) \): \[ y'(x) = -2A \sen(2x) + 2B \cos(2x) \] Aplicando a condição inicial \( y'(0) = 4 \): \[ y'(0) = -2A \sen(0) + 2B \cos(0) = -2 \cdot 1 \cdot 0 + 2B \cdot 1 = 2B \] Portanto, \( 2B = 4 \) e \( B = 2 \). Assim, a solução que atende às condições iniciais é: \[ y(x) = \cos(2x) + 2\sen(2x) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( \cos(2x) + 4\sen(2x) \) B) \( \cos(x) - 2\sen(2x) \) C) \( -\cos(2x) + 3\sen(2x) \) D) \( \cos(2x) + 2\sen(x) \) E) \( \cos(x) + \sen(x) \) A única alternativa que corresponde à solução encontrada \( y(x) = \cos(2x) + 2\sen(2x) \) é a A), mas ela tem um erro no coeficiente de \( \sen(2x) \). Portanto, a resposta correta, considerando a forma que encontramos, não está nas opções. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da questão.