Para resolver a questão, vamos usar as duas equações dadas: 1. \( \cos x + \sen x = \frac{\sqrt{5}}{2} \) 2. \( \cos x - \sen x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) Vamos somar e subtrair essas duas equações para encontrar os valores de \( \cos x \) e \( \sen x \). Somando as equações: \[ (\cos x + \sen x) + (\cos x - \sen x) = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ 2\cos x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \] \[ \cos x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{4} \] Subtraindo as equações: \[ (\cos x + \sen x) - (\cos x - \sen x) = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ 2\sen x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \] \[ \sen x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{4} \] Agora que temos \( \cos x \) e \( \sen x \), podemos calcular \( \tan x \): \[ \tan x = \frac{\sen x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \] Para encontrar \( \tan 2x \), usamos a fórmula: \[ \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} \] Calculando \( \tan^2 x \): \[ \tan^2 x = \left(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\right)^2 = \frac{(5 - 2\sqrt{15} + 3)}{(5 + 2\sqrt{15} + 3)} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{8 + 2\sqrt{15}} \] Substituindo na fórmula de \( \tan 2x \): \[ \tan 2x = \frac{2\left(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\right)}{1 - \frac{8 - 2\sqrt{15}}{8 + 2\sqrt{15}}} \] Após simplificações, você encontrará que o valor de \( \tan 2x \) é igual a \( 4 - \sqrt{15} \). Portanto, a alternativa correta é: a) 4 – √15.