Calcule a distância entre as retas r:x=y−32=z−2 e s:x−3=y+12=z−23. a. 5√6√56 b. 25–√25 c. 56–√ d. (6√30)/5 e. (√30)/6

Para calcular a distância entre as retas \( r: x = y - 3, z = 2 \) e \( s: x - 3 = y + 1, z = -2/3 \), precisamos primeiro identificar os vetores diretores e um ponto em cada reta. 1. Identificando as retas: - A reta \( r \) pode ser escrita na forma paramétrica como: \[ r: \begin{cases} x = t \\ y = t + 3 \\ z = 2 \end{cases} \] - A reta \( s \) pode ser escrita como: \[ s: \begin{cases} x = 3 + u \\ y = -1 - u \\ z = -\frac{2}{3} \end{cases} \] 2. Vetores diretores: - O vetor diretor de \( r \) é \( \vec{v_r} = (1, 1, 0) \). - O vetor diretor de \( s \) é \( \vec{v_s} = (1, -1, 0) \). 3. Encontrando um ponto em cada reta: - Um ponto em \( r \) quando \( t = 0 \) é \( P(0, 3, 2) \). - Um ponto em \( s \) quando \( u = 0 \) é \( Q(3, -1, -\frac{2}{3}) \). 4. Calculando a distância: A distância \( d \) entre duas retas pode ser calculada pela fórmula: \[ d = \frac{|(\vec{PQ} \cdot (\vec{v_r} \times \vec{v_s}))|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|} \] onde \( \vec{PQ} = Q - P = (3 - 0, -1 - 3, -\frac{2}{3} - 2) = (3, -4, -\frac{8}{3}) \). 5. Calculando o produto vetorial: \[ \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, -2) = (0, 0, -2) \] 6. Calculando a norma do produto vetorial: \[ |\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = 2 \] 7. Calculando o produto escalar: \[ \vec{PQ} \cdot (0, 0, -2) = 0 + 0 - \frac{16}{3} = -\frac{16}{3} \] 8. Calculando a distância: \[ d = \frac{|-(-\frac{16}{3})|}{2} = \frac{\frac{16}{3}}{2} = \frac{8}{3} \] Após revisar as opções, parece que não há uma correspondência exata com a resposta calculada. No entanto, se você precisar de uma aproximação ou se houver um erro nas opções, a resposta correta deve ser verificada. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!