Problema: Encontre \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). Resposta: \(\sec^{-1}(x) + C\). Explicação: Use a substituição \( x = \sec(u) \).

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Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\), podemos usar a substituição \(x = \sec(u)\). Vamos passo a passo: 1. Substituição: Se \(x = \sec(u)\), então \(dx = \sec(u) \tan(u) \, du\). 2. Substituindo na integral: \[ \int \frac{1}{\sec(u) \sqrt{\sec^2(u) - 1}} \sec(u) \tan(u) \, du \] Sabemos que \(\sqrt{\sec^2(u) - 1} = \tan(u)\), então a integral se torna: \[ \int \frac{\sec(u) \tan(u)}{\sec(u) \tan(u)} \, du = \int 1 \, du \] 3. Integrando: \[ \int 1 \, du = u + C \] 4. Voltando à variável original: Como \(u = \sec^{-1}(x)\), temos: \[ u + C = \sec^{-1}(x) + C \] Portanto, a resposta final é: \[ \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \sec^{-1}(x) + C \]

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Problema: Determine \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\). Resposta: \(\frac{1}{2} \ln^2(x) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

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Cálculo

Problema: Encontre \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). Resposta: \(\sec^{-1}(x) + C\). Explicação: Use a substituição \( x = \sec(u) \).

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