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Para resolver a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx\) usando a substituição \(x = 2 \sinh(u)\), siga os passos abaixo: 1. Substituição: \[ x = 2 \sinh(u) \implies dx = 2 \cosh(u) \, du \] 2. Substituir na integral: \[ \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{(2 \sinh(u))^2 + 4} = \sqrt{4 \sinh^2(u) + 4} = \sqrt{4(\sinh^2(u) + 1)} = 2 \cosh(u) \] 3. Substituir na integral: \[ \int \frac{2 \sinh(u)}{2 \cosh(u)} \cdot 2 \cosh(u) \, du = \int 2 \sinh(u) \, du \] 4. Integrar: \[ \int 2 \sinh(u) \, du = 2 \cosh(u) + C \] 5. Voltar à variável original: \[ \cosh(u) = \sqrt{\sinh^2(u) + 1} = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 1} = \sqrt{\frac{x^2}{4} + 1} = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2} \] Portanto, \(2 \cosh(u) = \sqrt{x^2 + 4}\). 6. Resultado final: \[ \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = \sqrt{x^2 + 4} + C \] Assim, a resposta está correta: \(\sqrt{x^2 + 4} + C\).

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Cálculo

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