Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\), podemos usar a substituição \(x = \sec(u)\). 1. Substituição: Se \(x = \sec(u)\), então \(dx = \sec(u) \tan(u) \, du\). 2. Substituindo na integral: \[ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2(u) - 1} = \sqrt{\tan^2(u)} = \tan(u). \] Assim, a integral se torna: \[ \int \frac{1}{\sec^2(u) \tan(u)} \cdot \sec(u) \tan(u) \, du = \int \frac{1}{\sec^2(u)} \, du = \int \cos^2(u) \, du. \] 3. Integral de \(\cos^2(u)\): Usamos a identidade \(\cos^2(u) = \frac{1 + \cos(2u)}{2}\): \[ \int \cos^2(u) \, du = \int \frac{1 + \cos(2u)}{2} \, du = \frac{u}{2} + \frac{\sin(2u)}{4} + C. \] 4. Voltando à variável original: Sabemos que \(u = \sec^{-1}(x)\), então: \[ \frac{u}{2} = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x). \] 5. Resultado final: A integral original se transforma em: \[ -\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C. \] Portanto, a resposta é \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C\).