Para resolver a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(dv = \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\) \(\Rightarrow v = \tan^{-1}(x)\) Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx = \ln(x) \tan^{-1}(x) - \int \tan^{-1}(x) \cdot \frac{1}{x} \, dx \] A integral \(\int \tan^{-1}(x) \cdot \frac{1}{x} \, dx\) pode ser resolvida novamente por partes ou por substituição. Após resolver, você encontrará que: \[ \int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln^2(x) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \] Portanto, a resposta final é: \[ \frac{1}{2} \ln^2(x) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \]