Grátis: Problema: Determine \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\). Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 ...

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Problema: Determine \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\). Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

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Para resolver a integral \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\), vamos usar a substituição \(u = x^2 + 1\). 1. Substituição: - Derivando \(u\), temos \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). - Como \(x^2 = u - 1\), então \(x = \sqrt{u - 1}\). 2. Substituindo na integral: \[ \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} = \int \frac{1}{(u - 1) \sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u - 1}}. \] 3. Simplificando: \[ = \frac{1}{2} \int \frac{du}{(u - 1) \sqrt{u(u - 1)}}. \] 4. Integral: Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de frações parciais ou tabelas de integrais, mas o resultado final é: \[ -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C. \] Portanto, a resposta correta é \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).

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