Grátis: Problema: Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\). Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^...

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Problema: Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\). Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

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Para resolver a integral \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = x^2 + 1\). 1. Substituição: - Derivando \(u\), temos \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). - Substituindo na integral, obtemos: \[ \int \frac{x}{(u)^{3/2}} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int u^{-3/2} \, du. \] 2. Integral: - A integral de \(u^{-3/2}\) é: \[ \int u^{-3/2} \, du = -2u^{-1/2} + C. \] 3. Voltando à variável original: - Substituindo \(u\) de volta, temos: \[ -2(u^{-1/2}) + C = -2\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right) + C. \] - Portanto, a integral se torna: \[ -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C. \] Assim, a resposta final é \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).

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