Problema: Calcule \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\). Resposta: \(\frac{\ln^2(x)}{2} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = \ln(x) \).

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Para calcular a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\), você pode usar a substituição \(u = \ln(x)\). 1. Substituição: Se \(u = \ln(x)\), então \(du = \frac{1}{x} \, dx\) ou \(dx = x \, du = e^u \, du\). 2. Mudança de variáveis: A integral se torna: \[ \int u \, du \] 3. Integração: A integral de \(u\) é: \[ \frac{u^2}{2} + C \] 4. Voltando à variável original: Substituindo \(u\) de volta, temos: \[ \frac{(\ln(x))^2}{2} + C \] Portanto, a resposta correta é: \[ \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{\ln^2(x)}{2} + C \]

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Problema: Determine \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\). Resposta: \(\frac{1}{2} \ln^2(x) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

Problema: Calcule \(\int \frac{dx}{x \ln(x)}\). Resposta: \(\ln |\ln(x)| + C\). Explicação: Use a substituição \( u = \ln(x) \).

Problema: Encontre \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). Resposta: \(\sec^{-1}(x) + C\). Explicação: Use a substituição \( x = \sec(u) \).

Problema: Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\). Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

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Cálculo

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