Grátis: Problema: Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 4)^2} \, dx\). Resposta: \(-\frac{x}{8(x^2 + 4)} - \frac{1}{16} \ln \left| x^2 + 4 \right| + C\). Explic...

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Problema: Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 4)^2} \, dx\). Resposta: \(-\frac{x}{8(x^2 + 4)} - \frac{1}{16} \ln \left| x^2 + 4 \right| + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 4 \).

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Para resolver a integral \(\int \frac{x}{(x^2 + 4)^2} \, dx\), vamos usar a substituição \(u = x^2 + 4\). 1. Substituição: - Derivando \(u\), temos \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). - Substituindo na integral, obtemos: \[ \int \frac{x}{(u)^2} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2} \, du. \] 2. Integral: - A integral \(\int \frac{1}{u^2} \, du\) é \(-\frac{1}{u}\). Portanto: \[ \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{2u}. \] 3. Voltando à variável original: - Substituindo \(u\) de volta, temos: \[ -\frac{1}{2(x^2 + 4)}. \] 4. Adicionando a constante: - Não podemos esquecer da constante de integração \(C\). 5. Resultado final: - A resposta correta é: \[ -\frac{1}{2(x^2 + 4)} + C. \] A resposta que você mencionou parece ter um erro na parte do logaritmo. A integral não gera um termo logarítmico. Portanto, a resposta correta é: \[ -\frac{1}{2(x^2 + 4)} + C. \]

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