Qual é o valor de \(\lim_{z \to 0} \frac{z - \sin(z)}{z^3}\)? a) 0 b) \frac{1}{6} c) 1 d) Não existe

Para resolver o limite \(\lim_{z \to 0} \frac{z - \sin(z)}{z^3}\), podemos usar a série de Taylor para \(\sin(z)\): \[ \sin(z) = z - \frac{z^3}{6} + O(z^5) \] Substituindo na expressão do limite: \[ z - \sin(z) = z - \left(z - \frac{z^3}{6} + O(z^5)\right) = \frac{z^3}{6} - O(z^5) \] Assim, temos: \[ \frac{z - \sin(z)}{z^3} = \frac{\frac{z^3}{6} - O(z^5)}{z^3} = \frac{1}{6} - O(z^2) \] Quando \(z\) se aproxima de 0, o termo \(O(z^2)\) tende a 0. Portanto, o limite se torna: \[ \lim_{z \to 0} \left(\frac{1}{6} - O(z^2)\right) = \frac{1}{6} \] Assim, a resposta correta é: b) \(\frac{1}{6}\)