Grátis: Problema: Determine o valor de \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\). Resposta: \(\frac{\pi^2}{6}\) Explicação: Esta é a série de Basel, cuja soma...

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Problema: Determine o valor de \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\).

Resposta: \(\frac{\pi^2}{6}\)
Explicação: Esta é a série de Basel, cuja soma é conhecida.

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A série \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\) é conhecida como a série de Basel. O valor dessa soma foi determinado por Leonhard Euler e é dado por: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \] A prova dessa soma envolve técnicas de análise matemática, como a análise de funções e séries de Fourier. A série converge, e o resultado é um marco importante na teoria das séries infinitas.

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Problema: Resolva a equação \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\).

\(x = 1, 2, 3\)
Explicação: Fatorando o polinômio, temos \((x-1)(x-2)(x-3) = 0\).

Problema: Calcule a integral \(\int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx\).

Resposta: \(-\frac{1}{9}\)
Explicação: Use integração por partes, com \(u = \ln(x)\) e \(dv = x^2 dx\).

Problema: Resolva a equação \(e^x + e^{-x} = 4\).

Resposta: \(x = \ln(2 + \sqrt{3})\) ou \(x = -\ln(2 + \sqrt{3})\)
Explicação: Use substituição \(y = e^x\) para resolver a equação quadrática.

Problema: Calcule o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\).

Resposta: \(\frac{\pi}{2}\)
Explicação: Use a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\).

Problema: Encontre as raízes da equação \(z^2 + 1 = 0\) onde \(z\) é um número complexo.

Resposta: \(z = i\) e \(z = -i\)
Explicação: Solucione \(z^2 = -1\) no plano complexo.

Problema: Determine a soma dos primeiros 100 termos da sequência aritmética \(2, 5, 8, \ldots\).

Resposta: \(15,500\)
Explicação: A fórmula da soma é \(S_n = \frac{n}{2} \left[2a + (n - 1)d\right]\).

Problema: Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y \sin(x)\).

Resposta: \(y = C e^{-\cos(x)}\)
Explicação: Use separação de variáveis para resolver a equação.

Problema: Determine a área do triângulo formado pelos pontos \( (0,0) \), \( (1,0) \) e \( (0,1) \).

Resposta: \(\frac{1}{2}\)
Explicação: A área é dada por \(\frac{1}{2} \text{base} \times \text{altura}\).

Problema: Encontre o determinante da matriz \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \).

Resposta: \(-2\)
Explicação: Use a fórmula do determinante \(ad - bc\).

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Problema: Resolva a equação \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\).\(x = 1, 2, 3\)Explicação: Fatorando o polinômio, temos \((x-1)(x-2)(x-3) = 0\).

Problema: Calcule a integral \(\int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx\).Resposta: \(-\frac{1}{9}\)Explicação: Use integração por partes, com \(u = \ln(x)\) e \(dv = x^2 dx\).

Problema: Resolva a equação \(e^x + e^{-x} = 4\).Resposta: \(x = \ln(2 + \sqrt{3})\) ou \(x = -\ln(2 + \sqrt{3})\)Explicação: Use substituição \(y = e^x\) para resolver a equação quadrática.

Problema: Calcule o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\).Resposta: \(\frac{\pi}{2}\)Explicação: Use a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\).

Problema: Encontre as raízes da equação \(z^2 + 1 = 0\) onde \(z\) é um número complexo.Resposta: \(z = i\) e \(z = -i\)Explicação: Solucione \(z^2 = -1\) no plano complexo.

Problema: Determine a soma dos primeiros 100 termos da sequência aritmética \(2, 5, 8, \ldots\).Resposta: \(15,500\)Explicação: A fórmula da soma é \(S_n = \frac{n}{2} \left[2a + (n - 1)d\right]\).

Problema: Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y \sin(x)\).Resposta: \(y = C e^{-\cos(x)}\)Explicação: Use separação de variáveis para resolver a equação.

Problema: Determine a área do triângulo formado pelos pontos \( (0,0) \), \( (1,0) \) e \( (0,1) \).Resposta: \(\frac{1}{2}\)Explicação: A área é dada por \(\frac{1}{2} \text{base} \times \text{altura}\).

Problema: Encontre o determinante da matriz \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \).Resposta: \(-2\)Explicação: Use a fórmula do determinante \(ad - bc\).

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Explicação: Use substituição \(y = e^x\) para resolver a equação quadrática.

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Resposta: \(\frac{\pi}{2}\)
Explicação: Use a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\).

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Resposta: \(y = C e^{-\cos(x)}\)
Explicação: Use separação de variáveis para resolver a equação.

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Resposta: \(\frac{1}{2}\)
Explicação: A área é dada por \(\frac{1}{2} \text{base} \times \text{altura}\).

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Explicação: Use a fórmula do determinante \(ad - bc\).