Para calcular a integral \(\int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx\) usando integração por partes, siga os passos abaixo: 1. Escolha \(u\) e \(dv\): - \(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(dv = x^2 \, dx\) \(\Rightarrow v = \frac{x^3}{3}\) 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo: \[ \int x^2 \ln(x) \, dx = \left(\ln(x) \cdot \frac{x^3}{3}\right) \bigg|_0^1 - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] 3. Avalie o primeiro termo: - Quando \(x = 1\), \(\ln(1) = 0\), então o termo é \(0\). - Quando \(x \to 0\), \(\ln(x) \to -\infty\) e \(x^3 \to 0\), então o limite é \(0\). Portanto, o primeiro termo é \(0 - 0 = 0\). 4. Calcule a integral restante: \[ -\int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = -\frac{1}{3} \int x^2 \, dx = -\frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} \bigg|_0^1 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{9} \] 5. Resultado final: \[ \int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx = 0 - \left(-\frac{1}{9}\right) = -\frac{1}{9} \] Portanto, a resposta correta é \(-\frac{1}{9}\).