Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, que é adequada para situações em que temos um número fixo de tentativas (neste caso, 7 pessoas), duas possibilidades (ter ou não ter o gene) e uma probabilidade constante de sucesso (20% ou 0,2). A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] onde: - \( P(X = k) \) é a probabilidade de ter exatamente \( k \) sucessos em \( n \) tentativas. - \( C(n, k) \) é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações de \( n \) elementos tomados \( k \) a cada vez. - \( p \) é a probabilidade de sucesso (0,2). - \( n \) é o número total de tentativas (7). - \( k \) é o número de sucessos desejados (3). 1. Calcule \( C(7, 3) \): \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] 2. Calcule \( p^k \) e \( (1-p)^{n-k} \): \[ p^3 = (0,2)^3 = 0,008 \] \[ (1-p)^{n-k} = (0,8)^{4} = 0,4096 \] 3. Agora, substitua na fórmula: \[ P(X = 3) = 35 \cdot 0,008 \cdot 0,4096 \] 4. Calcule: \[ P(X = 3) = 35 \cdot 0,008 \cdot 0,4096 \approx 0,114 \] Portanto, a probabilidade de encontrar exatamente 3 pessoas com o gene na amostra de 7 é aproximadamente 11,4%.