Para verificar se os operadores lineares \( T_1 \) e \( T_2 \) são isomorfismos, precisamos analisar suas propriedades, como a injetividade e a sobrejetividade. 1. Operador \( T_1(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z) \): - Matriz associada: \[ A_1 = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] - Determinante: O determinante de \( A_1 \) é \( 1 \), que é diferente de zero. Portanto, \( T_1 \) é um isomorfismo. - Isomorfismo inverso: Para encontrar o inverso, podemos usar a matriz inversa: \[ A_1^{-1} = A_1 \text{ (já que é uma matriz triangular superior com determinante 1)} \] 2. Operador \( T_2(x, y, z) = (x, x - y, 2x + y - z) \): - Matriz associada: \[ A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] - Determinante: O determinante de \( A_2 \) é \( 1 \), que também é diferente de zero. Portanto, \( T_2 \) é um isomorfismo. - Isomorfismo inverso: Assim como no caso anterior, podemos encontrar a matriz inversa: \[ A_2^{-1} = A_2 \text{ (também é uma matriz triangular superior com determinante 1)} \] 3. Conclusão: - Ambos os operadores \( T_1 \) e \( T_2 \) são isomorfismos. - O isomorfismo inverso de ambos é a própria matriz associada, já que são matrizes triangulares superiores com determinante 1. Se precisar de mais detalhes sobre como calcular as bases para \( N(T) \) e \( Im(T) \) em caso de não isomorfismo, é só avisar!