○ método de integração por partes é aplicado principalmente quando a função integranda é composta de produtos de funções distintas, como, por exemplo, a integral J utilizam-se as variáveis e vcomo suporte para reescrevermos a integral da seguinte forma: J udv =uv-J x.sen(x) dx, Para resolver essa integral, v du, Nesse sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta. A -x cos(x) +C, A B cos(x)- sen(x) + C. xcos(x) +sen(x) +C C -x cos(x) + sen(x) + C L E cos(x)+ sen(x)+C,

Question

○ método de integração por partes é aplicado principalmente quando a função integranda é composta de produtos de funções distintas, como, por exemp...

Ed · Answer

Para resolver a integral mencionada, que parece ser a integral de $ x \cdot \sin(x) \, dx $, vamos aplicar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:

$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

Escolhemos:
- $ u = x $  (então $ du = dx $)
- $ dv = \sin(x) \, dx $ (então $ v = -\cos(x) $)

Agora, aplicando a fórmula:

$$
\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) - \int -\cos(x) \, dx
$$

Isso se simplifica para:

$$
-x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx
$$

A integral de $ \cos(x) $ é $ \sin(x) $, então:

$$
-x \cos(x) + \sin(x) + C
$$

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) $-x \cos(x) + C$  
B) $ \cos(x) - \sin(x) + C$  
C) $ x \cos(x) + \sin(x) + C$  
D) $-x \cos(x) + \sin(x) + C$  
E) $ \cos(x) + \sin(x) + C$

A alternativa correta, que corresponde ao resultado que encontramos, é a D) $-x \cos(x) + \sin(x) + C$.

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