Vamos analisar cada afirmação: Conjunto X: \( X = \{x \in \mathbb{N} | 33 \leq x \leq 999\} \) Conjunto A: \( A = \{a \in X | a \text{ é divisível por } 8\} \) Conjunto B: \( B = \{b \in X | b \text{ é divisível por } 10\} \) ### Análise das afirmações: I. O conjunto A possui 120 elementos. - Para encontrar os elementos de A, precisamos determinar os múltiplos de 8 entre 33 e 999. - O menor múltiplo de 8 maior ou igual a 33 é 40 (8 * 5). - O maior múltiplo de 8 menor ou igual a 999 é 992 (8 * 124). - Os múltiplos de 8 formam uma progressão aritmética: \( 40, 48, 56, \ldots, 992 \). - A fórmula do n-ésimo termo da PA é \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \). - Para encontrar o número de termos, resolvemos \( 992 = 40 + (n-1) \cdot 8 \): \[ 992 - 40 = (n-1) \cdot 8 \\ 952 = (n-1) \cdot 8 \\ n-1 = 119 \\ n = 120 \] - Portanto, a afirmação I é verdadeira. II. O conjunto A ∪ B possui 216 elementos. - Precisamos calcular o número de elementos em B. - O menor múltiplo de 10 maior ou igual a 33 é 40 (10 * 4). - O maior múltiplo de 10 menor ou igual a 999 é 990 (10 * 99). - Os múltiplos de 10 formam a PA: \( 40, 50, 60, \ldots, 990 \). - Para encontrar o número de termos, resolvemos \( 990 = 40 + (m-1) \cdot 10 \): \[ 990 - 40 = (m-1) \cdot 10 \\ 950 = (m-1) \cdot 10 \\ m-1 = 95 \\ m = 96 \] - Portanto, o conjunto B possui 96 elementos. Interseção A ∩ B: - Precisamos encontrar os múltiplos de 40 (mínimo múltiplo comum de 8 e 10) entre 33 e 999. - O menor múltiplo de 40 maior ou igual a 33 é 40 (40 * 1). - O maior múltiplo de 40 menor ou igual a 999 é 960 (40 * 24). - Os múltiplos de 40 formam a PA: \( 40, 80, 120, \ldots, 960 \). - Para encontrar o número de termos, resolvemos \( 960 = 40 + (k-1) \cdot 40 \): \[ 960 - 40 = (k-1) \cdot 40 \\ 920 = (k-1) \cdot 40 \\ k-1 = 23 \\ k = 24 \] - Portanto, o conjunto A ∩ B possui 24 elementos. Cálculo do número de elementos em A ∪ B: - Usamos a fórmula: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \) - \( |A \cup B| = 120 + 96 - 24 = 192 \) Portanto, a afirmação II é falsa. III. O conjunto A ∩ B possui 24 elementos. - Como já calculado, essa afirmação é verdadeira. ### Conclusão: - A afirmação I é verdadeira. - A afirmação II é falsa. - A afirmação III é verdadeira. A alternativa correta que contém todas as afirmações verdadeiras é: (D) I e III, apenas.