Problema 4. Encontre a fração geratriz da dízima periódica 2, 1909090 · · · = 2, 190.

Para encontrar a fração geratriz da dízima periódica \(2,1909090\ldots\), siga os passos abaixo: 1. Defina a variável: Seja \(x = 2,1909090\ldots\). 2. Isolar a parte periódica: A parte não periódica é \(2,19\) e a parte periódica é \(0,0009090\ldots\). Para lidar com a parte periódica, multiplique \(x\) por \(1000\) (para mover a vírgula três casas para a direita): \[ 1000x = 2190,909090\ldots \] 3. Multiplicar para eliminar a parte periódica: Agora, multiplique \(x\) por \(10\) (para mover a vírgula uma casa para a direita): \[ 10x = 21,909090\ldots \] 4. Subtrair as duas equações: \[ 1000x - 10x = 2190,909090\ldots - 21,909090\ldots \] \[ 990x = 2169 \] 5. Resolver para \(x\): \[ x = \frac{2169}{990} \] 6. Simplificar a fração: Divida o numerador e o denominador pelo maior divisor comum (MDC). O MDC de \(2169\) e \(990\) é \(9\): \[ x = \frac{2169 \div 9}{990 \div 9} = \frac{241}{110} \] Portanto, a fração geratriz da dízima periódica \(2,1909090\ldots\) é \(\frac{241}{110}\).