Problema 10. Determine um número natural cujo produto por 9 seja formado apenas de algarismos 1.

Para resolver o problema, precisamos encontrar um número natural \( n \) tal que \( 9n \) seja um número formado apenas por algarismos 1. Vamos considerar os números formados apenas por algarismos 1: - 1 - 11 - 111 - 1111 - 11111 - ... Esses números podem ser expressos como \( \frac{10^k - 1}{9} \), onde \( k \) é a quantidade de algarismos 1. Assim, temos: \[ 9n = \frac{10^k - 1}{9} \] Multiplicando ambos os lados por 9, obtemos: \[ 81n = 10^k - 1 \] Portanto, podemos reescrever a equação como: \[ 10^k = 81n + 1 \] Agora, precisamos encontrar um \( k \) tal que \( 10^k - 1 \) seja divisível por 81. Testando alguns valores de \( k \): - Para \( k = 1 \): \( 10^1 - 1 = 9 \) (não é divisível por 81) - Para \( k = 2 \): \( 10^2 - 1 = 99 \) (não é divisível por 81) - Para \( k = 3 \): \( 10^3 - 1 = 999 \) (não é divisível por 81) - Para \( k = 4 \): \( 10^4 - 1 = 9999 \) (não é divisível por 81) - Para \( k = 5 \): \( 10^5 - 1 = 99999 \) (não é divisível por 81) - Para \( k = 6 \): \( 10^6 - 1 = 999999 \) (divisível por 81) Calculando \( n \): \[ 81n = 999999 \] \[ n = \frac{999999}{81} = 12345 \] Portanto, o número natural que estamos procurando é 12345.