Problema 9. O número A = √3 + 2√3− 2 + √3− 2√3 + 2 é um número racional ou irracional?

Para determinar se o número \( A = \sqrt{3} + 2\sqrt{3 - 2} + \sqrt{3 - 2\sqrt{3 + 2}} \) é racional ou irracional, vamos simplificar a expressão passo a passo. 1. Simplificando \( \sqrt{3 - 2} \): \[ \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1 \] 2. Substituindo na expressão: \[ A = \sqrt{3} + 2 \cdot 1 + \sqrt{3 - 2\sqrt{3 + 2}} \] \[ A = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3 - 2\sqrt{5}} \] 3. Agora, simplificando \( \sqrt{3 - 2\sqrt{5}} \): Para simplificar \( \sqrt{3 - 2\sqrt{5}} \), vamos tentar expressá-lo na forma \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \): \[ \sqrt{3 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \] Elevando ao quadrado: \[ 3 - 2\sqrt{5} = a + b - 2\sqrt{ab} \] Comparando, temos: - \( a + b = 3 \) - \( -2\sqrt{ab} = -2\sqrt{5} \) → \( \sqrt{ab} = \sqrt{5} \) → \( ab = 5 \) Resolvendo o sistema: \( x + y = 3 \) e \( xy = 5 \). As raízes da equação \( t^2 - 3t + 5 = 0 \) são: \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 5}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-11}}{2} \] Como o discriminante é negativo, não existem números reais \( a \) e \( b \) que satisfaçam essas condições. Portanto, \( \sqrt{3 - 2\sqrt{5}} \) não é um número racional. 4. Conclusão: Como \( A \) contém \( \sqrt{3} \) e \( \sqrt{3 - 2\sqrt{5}} \), que são irracionais, a soma de números racionais e irracionais resulta em um número irracional. Assim, \( A \) é um número irracional.