Resolva a equação: (2/3)^x . (9/8)^x = 27/64. (A) ???? = 1; (B) ???? = 2; (C) ???? = 3; (D) ???? = 4; (E) ???? = 5;

Vamos resolver a equação passo a passo: A equação dada é: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{9}{8}\right)^x = \frac{27}{64} \] Podemos reescrever \(\frac{9}{8}\) como \(\left(\frac{3}{2}\right)^2\): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^x = \frac{27}{64} \] Isso se torna: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} = \frac{27}{64} \] Agora, podemos simplificar a expressão do lado esquerdo: \[ \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3^2}{2^2}\right)^x = \frac{27}{64} \] Isso se torna: \[ \left(\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4}\right)^x = \frac{27}{64} \] Simplificando: \[ \left(\frac{18}{12}\right)^x = \frac{27}{64} \] \[ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{27}{64} \] Agora, podemos reescrever \(\frac{27}{64}\) como \(\left(\frac{3}{4}\right)^3\): \[ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^3 \] Agora, igualamos as bases: \[ \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = 3 \] Portanto, a resposta correta é: (C) ???? = 3.