Problema 75: Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 + 4x^2) \, dx \). a) \( \frac{5}{6} \) b) \( \frac{1}{5} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( 1 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^4 + 4x^2) \, dx \), vamos resolver passo a passo. 1. Separar a integral: \[ \int_0^1 (x^4 + 4x^2) \, dx = \int_0^1 x^4 \, dx + \int_0^1 4x^2 \, dx \] 2. Calcular a primeira integral: \[ \int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5} \] 3. Calcular a segunda integral: \[ \int_0^1 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 4 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \] 4. Somar os resultados: \[ \int_0^1 (x^4 + 4x^2) \, dx = \frac{1}{5} + \frac{4}{3} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 5 e 3 é 15: \[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \quad \text{e} \quad \frac{4}{3} = \frac{20}{15} \] Portanto: \[ \frac{1}{5} + \frac{4}{3} = \frac{3}{15} + \frac{20}{15} = \frac{23}{15} \] 5. Verificar as alternativas: Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado \( \frac{23}{15} \). Parece que houve um erro nas opções ou na formulação da pergunta. Você pode verificar se as alternativas estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.