Problema 82: Determine a derivada de f(x) = x² ln(x). a) \( 2x \ln(x) + x \) b) \( 2\ln(x) + 1 \) c) \( 2x \ln(x) + 2x \) d) \( \ln(x) \)

Para determinar a derivada da função \( f(x) = x^2 \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (uv)' = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^2 \) e \( v(x) = \ln(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 2x \) - \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2x)(\ln(x)) + (x^2)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando: \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x \] Portanto, a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \) é: \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x \] Assim, a alternativa correta é: a) \( 2x \ln(x) + x \).