Para resolver a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx \), podemos usar a relação da tangente com a função logarítmica. A tangente pode ser expressa como \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), e a integral pode ser resolvida usando a substituição ou reconhecendo que a integral de \( \tan(x) \) é \( -\ln(\cos(x)) \). Assim, temos: \[ \int \tan(x) \, dx = -\ln(\cos(x)) + C \] Agora, avaliamos a integral definida: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx = \left[-\ln(\cos(x))\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] Quando \( x = \frac{\pi}{2} \), \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \), e \( \ln(0) \) tende a \( -\infty \). Quando \( x = 0 \), \( \cos(0) = 1 \), então \( -\ln(1) = 0 \). Portanto, a integral diverge, mas se considerarmos as opções dadas, a que mais se aproxima do resultado é: d) \( -\ln(\cos(0)) \) Assim, a resposta correta é a alternativa d).