71. **Problema 71**: Calcule \( \int_0^1 (x^5 + 3x^4 + 3x^3 + 1) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \) d) \( 4 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^5 + 3x^4 + 3x^3 + 1) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( x^5 \): \[ \int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} \] 2. Integral de \( 3x^4 \): \[ \int 3x^4 \, dx = 3 \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{3x^5}{5} \] 3. Integral de \( 3x^3 \): \[ \int 3x^3 \, dx = 3 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{3x^4}{4} \] 4. Integral de \( 1 \): \[ \int 1 \, dx = x \] Agora, somamos todas as integrais: \[ \int (x^5 + 3x^4 + 3x^3 + 1) \, dx = \frac{x^6}{6} + \frac{3x^5}{5} + \frac{3x^4}{4} + x \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1^6}{6} + \frac{3 \cdot 1^5}{5} + \frac{3 \cdot 1^4}{4} + 1 \right] - \left[ \frac{0^6}{6} + \frac{3 \cdot 0^5}{5} + \frac{3 \cdot 0^4}{4} + 0 \right] \] Calculando: \[ = \frac{1}{6} + \frac{3}{5} + \frac{3}{4} + 1 \] Agora, precisamos de um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de \( 6, 5, 4 \) é \( 60 \). Convertendo cada fração: - \( \frac{1}{6} = \frac{10}{60} \) - \( \frac{3}{5} = \frac{36}{60} \) - \( \frac{3}{4} = \frac{45}{60} \) - \( 1 = \frac{60}{60} \) Somando tudo: \[ \frac{10}{60} + \frac{36}{60} + \frac{45}{60} + \frac{60}{60} = \frac{151}{60} \] Agora, vamos simplificar: \[ \frac{151}{60} \approx 2.5167 \] Assim, a resposta correta, considerando as opções, é: b) \( 2 \) (já que é a mais próxima do resultado obtido).