77. **Problema 77**: Calcule \( \int_0^1 (2x^2 + 4x + 2) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (2x^2 + 4x + 2) \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada da função \( 2x^2 + 4x + 2 \): - A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2}{3}x^3 \). - A antiderivada de \( 4x \) é \( 2x^2 \). - A antiderivada de \( 2 \) é \( 2x \). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + 2x \] 2. Avaliar a integral definida de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_0^1 (2x^2 + 4x + 2) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{2}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 2(1) = \frac{2}{3} + 2 + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \] Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{2}{3}(0)^3 + 2(0)^2 + 2(0) = 0 \] Portanto: \[ \int_0^1 (2x^2 + 4x + 2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{14}{3} - 0 = \frac{14}{3} \] 3. Comparar com as alternativas: - a) \( 1 \) - b) \( 2 \) - c) \( 3 \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \( \frac{14}{3} \). Parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há mais informações.