70. **Problema 70**: Calcule \( \int_0^1 (4x^4 - 4x^3 + 1) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \) d) \( 4 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (4x^4 - 4x^3 + 1) \, dx \), vamos resolver passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( 4x^4 \) é \( \frac{4}{5}x^5 \). - A antiderivada de \( -4x^3 \) é \( -x^4 \). - A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada de \( 4x^4 - 4x^3 + 1 \) é: \[ \frac{4}{5}x^5 - x^4 + x \] 2. Avaliar a integral de 0 a 1: \[ \int_0^1 (4x^4 - 4x^3 + 1) \, dx = \left[ \frac{4}{5}x^5 - x^4 + x \right]_0^1 \] 3. Calcular os limites: - Para \( x = 1 \): \[ \frac{4}{5}(1)^5 - (1)^4 + (1) = \frac{4}{5} - 1 + 1 = \frac{4}{5} \] - Para \( x = 0 \): \[ \frac{4}{5}(0)^5 - (0)^4 + (0) = 0 \] 4. Subtrair os limites: \[ \frac{4}{5} - 0 = \frac{4}{5} \] Parece que houve um erro na avaliação. Vamos reavaliar a integral: 5. Reavaliando a integral: \[ \int_0^1 (4x^4 - 4x^3 + 1) \, dx = \left[ \frac{4}{5}x^5 - x^4 + x \right]_0^1 \] \[ = \left( \frac{4}{5} - 1 + 1 \right) - 0 = \frac{4}{5} \] Parece que a integral não se encaixa nas opções dadas. Vamos verificar novamente. Na verdade, a integral correta é: \[ \int_0^1 (4x^4 - 4x^3 + 1) \, dx = \left[ \frac{4}{5}x^5 - x^4 + x \right]_0^1 = \frac{4}{5} - 1 + 1 = \frac{4}{5} \] Parece que a resposta correta não está entre as opções. Você pode verificar se a função ou os limites estão corretos?