72. **Problema 72**: Calcule \( \int_0^1 (3x^3 - 2x^2 + x) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 0 \) d) \( 3 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (3x^3 - 2x^2 + x) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 3x^3 - 2x^2 + x \). 1. A antiderivada de \( 3x^3 \) é \( \frac{3}{4}x^4 \). 2. A antiderivada de \( -2x^2 \) é \( -\frac{2}{3}x^3 \). 3. A antiderivada de \( x \) é \( \frac{1}{2}x^2 \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{3}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \] Agora, vamos calcular \( F(1) \) e \( F(0) \): \[ F(1) = \frac{3}{4}(1)^4 - \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 4, 3 e 2 é 12: \[ F(1) = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{9 - 8 + 6}{12} = \frac{7}{12} \] Agora, calculamos \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (3x^3 - 2x^2 + x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{7}{12} - 0 = \frac{7}{12} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado \( \frac{7}{12} \). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da questão.