76. **Problema 76**: Calcule \( \int_0^1 (3x^3 - 3x^2 + 1) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 0 \) d) \( 3 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (3x^3 - 3x^2 + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 3x^3 - 3x^2 + 1 \). 1. A antiderivada de \( 3x^3 \) é \( \frac{3}{4}x^4 \). 2. A antiderivada de \( -3x^2 \) é \( -x^3 \). 3. A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{3}{4}x^4 - x^3 + x \] Agora, vamos calcular \( F(1) \) e \( F(0) \): - \( F(1) = \frac{3}{4}(1)^4 - (1)^3 + (1) = \frac{3}{4} - 1 + 1 = \frac{3}{4} \) - \( F(0) = \frac{3}{4}(0)^4 - (0)^3 + (0) = 0 \) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (3x^3 - 3x^2 + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{3}{4} - 0 = \frac{3}{4} \] Nenhuma das alternativas corresponde a \( \frac{3}{4} \). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.