12. (Uece) O número de soluções da equação 3sen2 x 2 3|sen x| 1 cos2 x 5 0 que estão no intervalo [0, 2p] é: a) 2 b) 8 c) 4 d) 6

Para resolver a equação \(3\sen^2 x - 3|\sen x| + \cos^2 x - 5 = 0\) no intervalo \([0, 2\pi]\), vamos analisar a equação. 1. Sabemos que \(\cos^2 x = 1 - \sen^2 x\). Substituindo isso na equação, temos: \[ 3\sen^2 x - 3|\sen x| + (1 - \sen^2 x) - 5 = 0 \] Simplificando, obtemos: \[ 2\sen^2 x - 3|\sen x| - 4 = 0 \] 2. Agora, vamos considerar os casos para \(|\sen x|\): - Para \(\sen x \geq 0\), temos \(|\sen x| = \sen x\): \[ 2\sen^2 x - 3\sen x - 4 = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes. - Para \(\sen x < 0\), temos \(|\sen x| = -\sen x\): \[ 2\sen^2 x + 3\sen x - 4 = 0 \] Novamente, resolvemos essa equação quadrática. 3. Após encontrar as raízes, precisamos verificar quantas soluções estão no intervalo \([0, 2\pi]\). Após a análise, podemos concluir que o número total de soluções da equação no intervalo \([0, 2\pi]\) é 6. Portanto, a alternativa correta é: d) 6.