Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 3y + 2 \), vamos usar o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante. 1. Reescrevendo a equação: \[ \frac{dy}{dx} - 3y = 2 \] 2. Identificando o fator integrante: O fator integrante é dado por \( e^{\int -3 \, dx} = e^{-3x} \). 3. Multiplicando a equação pela fator integrante: \[ e^{-3x} \frac{dy}{dx} - 3e^{-3x}y = 2e^{-3x} \] 4. Reescrevendo a equação: A parte esquerda se torna a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{-3x}y) = 2e^{-3x} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{-3x}y = -\frac{2}{3}e^{-3x} + C \] 6. Multiplicando por \( e^{3x} \): \[ y = -\frac{2}{3} + Ce^{3x} \] 7. Aplicando a condição inicial \( y(0) = 1 \): \[ 1 = -\frac{2}{3} + C \implies C = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \] 8. Substituindo \( C \) na solução: \[ y = -\frac{2}{3} + \frac{5}{3}e^{3x} \] Assim, a solução final é: \[ y = \frac{5}{3}e^{3x} - \frac{2}{3} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( y = e^{3x} + 1 \) - Incorreta. b) \( y = \frac{2}{3} e^{3x} + \frac{1}{3} \) - Incorreta. c) \( y = \frac{2}{3} e^{3x} - \frac{1}{3} \) - Incorreta. d) \( y = e^{3x} - 2 \) - Incorreta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à solução correta. Você pode precisar verificar as opções ou a formulação da questão.