Encontre a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( \frac{5}{3} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos primeiro calcular a integral indefinida da função. A função \( x^2 + 2x + 1 \) pode ser reescrita como \( (x + 1)^2 \). Agora, vamos integrar: \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \] Agora, precisamos avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 \] Calculando no limite superior (x = 1): \[ \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] Agora, no limite inferior (x = 0): \[ \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 = 0 \] Portanto, a integral definida é: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.