Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \). a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( \frac{1}{5} \) d) \( \frac{2}{5} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \), vamos primeiro calcular a integral de cada termo separadamente. 1. A integral de \( x^4 \) é \( \frac{x^5}{5} \). 2. A integral de \( -2x^2 \) é \( -\frac{2x^3}{3} \). 3. A integral de \( 1 \) é \( x \). Agora, somamos essas integrais: \[ \int (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1^5}{5} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 \right] - \left[ \frac{0^5}{5} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 \right] \] Isso simplifica para: \[ \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \] Agora, precisamos de um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de 5 e 3 é 15: \[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{10}{15}, \quad 1 = \frac{15}{15} \] Agora, somamos: \[ \frac{3}{15} - \frac{10}{15} + \frac{15}{15} = \frac{3 - 10 + 15}{15} = \frac{8}{15} \] Portanto, o valor da integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \) é \( \frac{8}{15} \). Como essa resposta não está entre as opções, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada foi escrita corretamente.