Um dado é lançado 6 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 vezes o número 4? a) 5/36 b) 15/64 c) 20/729 d) 1/6

Para resolver essa questão, podemos usar a fórmula da probabilidade binomial, que é dada por: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (neste caso, 6 lançamentos), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 3 vezes o número 4), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (a probabilidade de sair o número 4 em um lançamento de dado é \( \frac{1}{6} \)), - \( (1-p) \) é a probabilidade de falha (não sair o número 4, que é \( \frac{5}{6} \)). Substituindo os valores: - \( n = 6 \) - \( k = 3 \) - \( p = \frac{1}{6} \) Calculamos: 1. O coeficiente binomial \( \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20 \). 2. A probabilidade de sucesso \( p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \). 3. A probabilidade de falha \( (1-p)^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{125}{216} \). Agora, juntando tudo: \[ P(X = 3) = 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} = 20 \cdot \frac{125}{46656} = \frac{2500}{46656} \] Agora, precisamos simplificar essa fração e verificar se ela corresponde a alguma das alternativas. Após simplificação, a fração não se encaixa diretamente nas opções dadas. Vamos verificar as alternativas: a) \( \frac{5}{36} \) = \( \frac{5 \cdot 1296}{46656} = \frac{6480}{46656} \) (não é igual) b) \( \frac{15}{64} \) = \( \frac{15 \cdot 729}{46656} = \frac{10935}{46656} \) (não é igual) c) \( \frac{20}{729} \) = \( \frac{20 \cdot 64}{46656} = \frac{1280}{46656} \) (não é igual) d) \( \frac{1}{6} \) = \( \frac{1 \cdot 7776}{46656} = \frac{7776}{46656} \) (não é igual) Parece que houve um erro na simplificação ou na interpretação das opções. A resposta correta, com base nos cálculos, não está entre as opções fornecidas. Por favor, verifique se as opções estão corretas ou se há algum erro na formulação da pergunta.