Calcule \( \int_0^{\pi} \cos(x) \sin(x) \, dx \). a) 0 b) \( 1 \) c) 1/2 d) \( -1 \)

Para calcular a integral \( \int_0^{\pi} \cos(x) \sin(x) \, dx \), podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno: \[ \cos(x) \sin(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \] Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{\pi} \cos(x) \sin(x) \, dx = \int_0^{\pi} \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx \] Agora, podemos calcular a integral: \[ = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin(2x) \, dx \] A integral de \( \sin(2x) \) é: \[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \] Portanto, avaliando de \( 0 \) a \( \pi \): \[ = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right]_0^{\pi} \] Calculando os limites: \[ = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} (\cos(2\pi) - \cos(0)) \right] \] \[ = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} (1 - 1) \right] \] \[ = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} (0) \right] = 0 \] Portanto, a resposta correta é: a) 0