Para resolver a integral \( \int_0^1 x \sin(3x) \, dx \), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \( u = x \) e \( dv = \sin(3x) \, dx \) - Então, \( du = dx \) e \( v = -\frac{1}{3} \cos(3x) \) Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int_0^1 x \sin(3x) \, dx = \left[ -\frac{1}{3} x \cos(3x) \right]_0^1 + \frac{1}{3} \int_0^1 \cos(3x) \, dx \] Calculando a primeira parte: \[ \left[ -\frac{1}{3} x \cos(3x) \right]_0^1 = -\frac{1}{3} (1 \cdot \cos(3)) - 0 = -\frac{1}{3} \cos(3) \] Agora, precisamos calcular \( \int_0^1 \cos(3x) \, dx \): \[ \int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x) \] Portanto: \[ \int_0^1 \cos(3x) \, dx = \left[ \frac{1}{3} \sin(3x) \right]_0^1 = \frac{1}{3} \sin(3) - 0 = \frac{1}{3} \sin(3) \] Agora, substituindo de volta na integral original: \[ \int_0^1 x \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \sin(3) = -\frac{1}{3} \cos(3) + \frac{1}{9} \sin(3) \] Assim, a resposta correta é: a) \( -\frac{1}{3} \cos(3) + \frac{1}{9} \)